让-巴蒂斯特·约瑟夫·傅里叶 (1768–1830) 在研究热传导方程时，于 1807 年向法兰西科学院提交论文，主张"任何函数都能展开为三角级数"。此说在当时被拉格朗日、拉普拉斯等人质疑为缺乏严格性，直到 1822 年出版的《热的解析理论》才奠定现代分析学基石。

1965 年 Cooley 与 Tukey 发表 FFT 算法（复杂度 $O(N\log N)$），开启数字信号处理、MRI、JPEG、MP3 时代；思想源头可追溯至 1805 年高斯未发表的手稿。

连续傅里叶变换对：

$$X(f)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,e^{-j2\pi f t}\,dt \qquad x(t)=\int_{-\infty}^{\infty} X(f)\,e^{j2\pi f t}\,df$$

离散傅里叶变换 (DFT)：

$$X_k=\sum_{n=0}^{N-1} x_n\,e^{-j2\pi kn/N}, \quad k=0,1,\dots,N-1$$

帕塞瓦尔定理（能量守恒）：

$$\int |x(t)|^2 dt = \int |X(f)|^2 df$$

"Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them." — J. Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822)

"傅里叶变换告诉我们，任何复杂性都源于简单规则的叠加。它为理解世界提供了一个最优雅的棱镜，将看似混沌的表象，分解为永恒和谐的正弦之舞。"