传统包络问题需要对参数 $\theta$ 或 $t$ 求偏导。本证法把"微分条件"替换成两个几何条件：
两个条件合起来得到 $\vec v^* \perp \hat n^*$，接下来把右侧速度三角形放大 $t$ 倍平移到位置图叠合成大直角三角形，只用两次相似比即可读出 $x^*,\,y^*$——零勾股、零能量守恒、零微分。
位置矢量合成：$\vec r(t,\hat n) = -\tfrac{1}{2}gt^2\,\hat y + v_0 t\,\hat n$
速度矢量合成：$\vec v(t,\hat n) = -gt\,\hat y + v_0\,\hat n$
速度△ ×$t$ 平移叠合 → 大 $\triangle ABC$：$A=(0,+\tfrac12gt^2)$, $B=O_t$, $C=P^*$；$AB=gt^2$, $BC=v_0 t$, $AC=t|\vec v^*|$，直角在 $C$，垂足 $D=(0,y^*)$，高 $CD=x^*$，$h=BD=y^*+\tfrac12gt^2$。
相似比 ①（$\triangle BDC \sim \triangle BCA$）：$\dfrac{h}{v_0 t} = \dfrac{v_0 t}{gt^2} \;\Rightarrow\; h=\dfrac{v_0^2}{g} \;\Rightarrow\; y^* = \dfrac{v_0^2}{g} - \tfrac12 g t^2$
相似比 ②（$\triangle ADC \sim \triangle CDB$）：$\dfrac{gt^2-h}{x^*} = \dfrac{x^*}{h} \;\Rightarrow\; (x^*)^2 = h(gt^2-h) = v_0^2 t^2 - \dfrac{v_0^4}{g^2}$
最终包络：$y^* = \dfrac{v_0^2}{2g} - \dfrac{g}{2v_0^2}(x^*)^2$
"下落圆族"的思想可追溯到伽利略《关于两门新科学的对话》：把自由落体分解成"水平匀速 + 竖直下落"。本证法进一步把它搬到速度空间，让"同一个 $\hat n$"成为两张图的同步信号——这是矢量方法相对于单纯代数法的威力所在。
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