电子云形状演示 | 赛博物理终端

> HISTORICAL BACKGROUND

1913 年，玻尔提出电子在固定圆轨道上旋转的原子模型，成功解释了氢原子光谱。但随之而来的问题是：电子为何不辐射能量落入原子核？为何轨道只能取离散半径？

1925 年薛定谔方程问世，1926 年玻恩给出波函数的概率诠释：$|\psi|^2 dV$ 表示在体积元 $dV$ 中找到电子的概率。从此，"轨道"被"轨道函数（orbital）"取代——它不再是轨迹，而是一团概率云。

> KEY EQUATIONS

• 薛定谔方程（定态）：$\hat{H}\psi = E\psi$

• 氢原子波函数：$\psi_{n\ell m}(r,\theta,\varphi) = R_{n\ell}(r)\,Y_\ell^m(\theta,\varphi)$

• 1s：$\psi_{1s} = \dfrac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\,e^{-r/a_0}$

• 2s：$\psi_{2s} \propto (2-r/a_0)\,e^{-r/(2a_0)}$（节面 $r=2a_0$）

• 2p_z：$\psi_{2p_z} \propto r\cos\theta\,e^{-r/(2a_0)}$

• 3d_{z²}：$\psi_{3d_{z^2}} \propto r^2(3\cos^2\theta-1)\,e^{-r/(3a_0)}$

• 径向概率密度：$P(r) = 4\pi r^2|\psi|^2$

> NODE COUNT TABLE

总节面数n − 1

角节面数l

径节面数n − l − 1

1s (n=1,l=0)0 节面

2s (n=2,l=0)1 径节面

2p (n=2,l=1)1 角节面

3d (n=3,l=2)2 角节面

> QUOTES

"Those who are not shocked when they first come across quantum theory cannot possibly have understood it."
— Niels Bohr

"I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics."
— Richard Feynman

> IMPLEMENTATION NOTES

本演示所有电子云均采用 蒙特卡洛拒绝采样法 从氢原子波函数 $|\psi_{n\ell m}|^2$ 中抽取 1000~3000 个三维空间点，经 y/x 双轴旋转后做透视投影。点密度即概率密度，因此图像能如实反映波函数形状（球形 / 哑铃 / 四瓣 / 甜甜圈），而非示意性 lobe。颜色以波函数实数形式的符号区分正负相位（紫/橙），仅用于视觉标记，不代表概率差异。