> HISTORICAL NOTES
1920 年，Wilhelm Lenz 向他的学生 Ernst Ising 提出用二值自旋格点模型描述铁磁体；
1925 年 Ising 在博士论文中精确解出一维模型，发现 没有有限温度相变，悲观地推断整个模型无法描述铁磁；
1944 年 Lars Onsager 以一篇传奇论文解析二维无外场伊辛模型，证实存在相变并精确给出 $T_c$，
成为 20 世纪统计物理最重要的成就之一。
> KEY EQUATIONS
$$H = -J\sum_{\langle i,j\rangle} s_i s_j - h\sum_i s_i$$
$$P(\{s\}) = \frac{1}{Z}\,e^{-H(\{s\})/T},\qquad Z = \sum_{\{s\}}e^{-H/T}$$
$$\Delta E_{\text{flip}} = 2 s_i\left(J\sum_{nn}s_j + h\right)$$
$$T_c^{(2D)} = \frac{2J}{\ln(1+\sqrt{2})} \approx 2.2692\,J$$
$$m(T
> CRITICAL EXPONENTS — 2D ISING UNIVERSALITY CLASS
比热 C ~ |t|^-αα = 0 (对数发散)
磁化 m ~ |t|^ββ = 1/8
磁化率 χ ~ |t|^-γγ = 7/4
关联长度 ξ ~ |t|^-νν = 1
关联函数 ηη = 1/4
临界等温 m ~ h^(1/δ)δ = 15
其中 $t = (T-T_c)/T_c$。这些指数满足标度关系 $\alpha + 2\beta + \gamma = 2$ 等，反映 尺度不变性。
> BEYOND MAGNETISM
"The Ising model is the harmonic oscillator of statistical mechanics."
— 凝聚态物理学界的公认格言
同一数学结构也描述 — 液气临界点、二元合金有序-无序转变、神经元兴奋/抑制、图像像素去噪 (Markov Random Field)、社会学中的意见动力学、Hopfield 网络记忆存储乃至量子退火硬件（D-Wave）。这就是普适性的力量。